Question

৬÷২(২+১) এবং ৮÷২(৩+১) : কেন একই অংক দুই ক্যালকুলেটরে দুইরকম দেখায় ?

Answer 1

"ক্যাসিও ভূুত"

বিখ্যাত দুই অংক :

৮÷২(৩+১) ... …. …. (রাশি 1)

৬÷২(২+১) ... …. .… (রাশি 2)

প্রথমটির উত্তর ১ না ১৬ এবং দ্বিতীয়টির উত্তর ১ না ৯, তা নিয়ে শুধু বাংলাদেশ নয় বরং কয়েক দশক ধরেই বিশ্বের লক্ষ লক্ষ মানুষের মাঝে বিতর্ক রয়েছে । বিশেষ করে বাংলাদেশে যারা ১৬ বা ৯ বলছে, তাদের কাছে যুক্তি আছে । আর যারা ১ বলছে, তাদের ৯৯.৯৯% জানেই না কেন তারা ১ বলেছে । ১ নিয়ে যে যুক্তি তারা দেখায় তা শতভাগ ভুল ! আর এ জায়গাটা আসলেই ভয় পাওয়ার মতো কেননা এ তালিকায় 'শিক্ষক' মহলের নামও রয়েছে । তাদের ভুলটা কোথায় তা নিয়ে শেষে আলোচনা করবো । তার আগে আসল সমস্যাটা নিয়ে আলোচনা করা যাক ।

প্রায় বছর দেড়েক আগে শ্রদ্ধেয় গণিতবোদ্ধা, চমক হাসান ভাইয়ের এক পোস্টের পর ৬÷২(২+১) সমস্যাটা পুনরায় আলোচনায় আসে এবং 'তথাকথিক' BODMAS নিয়ম নিয়ে আরো একবার গবেষণা হয় । চমক ভাই পুরোপুরি নিরপেক্ষ ব্যাখ্যা দাঁড় করান তবুও উনার রেজাল্টটা অনেকটাই ৯-ঘেঁষা । এ জায়গায় কিছু মিসিং লিংক ছিল তা বলবো এবং কেন ৯ বা ১৬ গ্রান্টেড মেনে নেয়া উচিত না তা-ও আমি ব্যাখ্যা করবো (নিঃসন্দেহে চমক ভাইয়ের সাথে আমি কোনোরকম দ্বিমত পোষণ করতে যাচ্ছি না)। তার আগে বলি জনপ্রিয় BODMAS, BEDMAS, BIDMAS বা GEMDAS, এরা হচ্ছে কানাডা, ব্রিটেন, অস্ট্রেলিয়া, এশিয়া, আফ্রিকার । শুধু আমেরিকায় PEMDAS বেশি জনপ্রিয় । PEMDAS মানে Parentheses, Exponent, Multiplication, Division, Addition, Subtraction । আমেরিকার বাচ্চারা একে বলে "Please Excuse My Dear Aunt Sally" । এখানে ভাগের আগে গুণ হয় । আমাদের এই লেখার জন্য আমরা BODMAS-এর পরিবর্তে PEMDAS ব্যবহার করব, কারণ ক্যালকুলেটরে PEMDAS ব্যবহার করা হয় আর ঝামেলাটা এখানেই ।

 

BODMAS/PEMDAS অনুযায়ী :

৬÷২(২+১)

=৬÷২(৩) [এখানে ব্র্যাকেট বা Parentheses আগে]

=৬÷২×৩ [Juxtaposition বা Implicit Multiplication অনুযায়ী ব্র্যাকেট উঠে গেলে গুণ হবে]

 

এখন আসি আসল খেলায় । বাংলাদেশী যারা উত্তর ১ বলেছে তারা ১ বলেছে এই হিসেবে যে,

= ৬÷২(৩)

= ৬÷২ এর ৩ [ ব্র্যাকেট উঠলে 'এর' বা 'of' ]

= ৬÷(২×৩) [ ভাগের আগে 'of'-এর কাজ ]

=৬÷৬

 

এই নিয়ম পুরোপুরি ভুল !!

Parentheses-উঠলে কখনোই 'এর' বা 'of' হয় না । গুন হবে Juxtaposition multiplication-এর কারনে, সেটা হোক BODMAS কিংবা PEMDAS । 'এর' বা 'of' এর প্রয়োগ ৩টি :

1. Fraction (ভগ্নাংশ যেমন 1 ½ = ⅔ )

2. Order (Exponent বা Power)

3. Percentage (শতাংশ)

বুঝাই যাচ্ছে, উপরের ক্যালকুলেশনে 'এর' বা 'of' এর চিহ্নমাত্র থাকবে না ।

২য় ভুলটা হচ্ছে, তারা বলে BODMAS/BEDMAS অনুয়ায়ী ভাগ আগে, পরে গুণ । তবে তাও শতবছর ধরে বিতর্কিত । গণিতবিদ Florian Cajori তার A History of Mathematical Notations (১৯২৮) বইয়ে উল্লেখ করেন যে আগে গুণ হবে না ভাগ, তা তখনও অমীমাংসিত । মূলত, গুণ ও ভাগ একসাথে থাকলে তাদের গুরুত্ব একই, আগে-পরে ফ্যাক্ট না (by Elementary PEMDAS rule, quoted by Oliver Knill, Harvard Math Department) । শুধু Left-to-right হিসাব হবে । PEMDAS নিয়মে আগে গুণ হয়, BODMAS-এ হয় ভাগ । কিন্তু মার্কিন গণিতবিদ Webster Well-এর First Year Algebra (১৯১২) বই কিংবা Frank C Touton, Herbert Hawkes, W.A. Luby-এর First Course Algebra (১৯২৫) বইতে স্পষ্টত যোগ-বিয়োগ কিংবা গুণ-ভাগ একসাথে থাকলে বাম-থেকে-ডান করার নির্দেশ রয়েছে । এবং এর সমর্থনে বর্তমানে অসংখ্য প্রমাণও রয়েছে । তাই BO(DM)(AS) বা PE(MD)(AS) উভয়েই পরের হিসাবটা হবে :

= ৬÷২×৩

=৩×৩ [ Left-to-Right ]

= ৯

যদিও বাংলাদেশীদের হিসাবটা ঠিকই ছিল কিন্তু পদ্ধতিটা ভুল ।

 

এখন কেন quantity-1 ও 2 (১, ২নং রাশি) এর উত্তর একেক ক্যালকুলেটরে একেক রকম আসে ?

 

মূলত ঝামেলাটা হচ্ছে ২(২+১) ও ২(৩+১) এই পার্ট নিয়ে । গণিতবোদ্ধাদের একটা বড় অংশ বলছেন,

২(১+২) যখন

= ২(৩) হবে তখন ব্র্যাকেটের আগে কোনো অপারেটর (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ) না থাকায় Juxtaposition অবস্থার সৃষ্টি হবে যা Implicit Multiplication-এর কারনে :

=২(৩) থেকে (২*৩) তে আগে কনভার্ট হবে, পরে ৬ থেকে ভাগ করতে হবে । প্রকৃতপক্ষে, শত শত বছর ধরেই গণিবিদ, বিজ্ঞানী ও প্রকৌশলীরা এই Juxtaposition ব্যবহার করে আসছেন এবং তাদের প্রায় সবাই একে গুণ-ভাগের চেয়েও উপরে স্থান দেন । তাই PEMDAS হয়েছিল PEJMDAS (পেজমদাস) এবং BODMAS হয়ে গেল BOJDMAS । তবে কেউই বিষয়টা Explicitly উল্লেখ করে যাননি, এদের নামও দেননি ।

PEMDAS-এর অস্তিত্ব পাওয়া যায় ১৯০০ সাল থেকেই । এর সাথে Juxtaposition-এর কাজও করা হতো (যেমন—ব্র্যাকেটের সাথে কিছু না থাকলে গুণ ধরা) তবে তাকে আলাদাভাবে উল্লেখ করার প্রয়োজন কিন্তু মনে করেনি কেউই । এই অস্পষ্টতা বা Ambiguity-ধরা পরে আরো পরে । তবে BODMAS/PEMDAS-কে অঘোঘিত BOJDMAS/PEJMDAS ধরার পক্ষেই সবচেয়ে বেশি রেফারেন্স পাওয়া যায় । যেমন—American Institute of Physics (AIP) Style Guide-এর ২৬ পৃষ্ঠায় 1/3x কে 1/(3x) লিখতে নির্দেশ দেয়া হয় (চাইলে গুগলেও দেখতে পারেন) । অর্থাৎ PEJMDAS-এর ব্যবহার যে প্রচলিত ছিল তার প্রমাণে কোনো সন্দেহ নাই ।

 

১৯৭০-৮০র দশকে TI (Texas Institute) calculator যেমন TI-80, TI-81, TI-85 ইত্যাদি ও CASIO ক্যালকুলেটরগুলোর (২০০১ এর FX-570MS ও পূর্ববর্তী সব) সবই PEJMDAS মেনে চলতো যেখানে 1, 2 নং রাশির মান :

৬÷২(৩)

= ৬÷(২×৩) [Implicit Multiplication/Juxtaposition মেনে which comes before Division-Multiplication]

= ৬÷৬

= ১ দেখাবে ।

পরবর্তীতে TI-83 PLUS, TI-89, TI-Nspire ইত্যাদি ভার্সনে Juxtaposition ও গুণ-ভাগকে এক কাতারে ফেলা হয় অর্থাৎ PEMDAS নিয়মে বাম-থেকে-ডান । আর ২০১৮ সালে CASIO নিজস্ব বিবৃতিতে বলে যে, অনেক North American স্কুল-হাই স্কুল শিক্ষক ও গণিকপ্রেমীদের উৎসাহে ২০০৫ সালে fx-ES series ক্যালকুলেটর(যেটা এদেশে প্রচলিত) দিয়ে PEMDAS নিয়মে সুইচ করে । পরবর্তীতে তারা আবার ২০০৮ সালেই FX-ES PLUS series-দিয়ে আগের সেই PEJMDAS নিয়মে ফিরে যায় যেখানে ব্র্যাকেটের পর Implicit Multiplication-কে গুণ-ভাগের চেয়েও Top priority দেয়া হয় । অত্যাধুনিক fx-100AU PLUS ক্যালকুলেটরে ৬÷২(২+১) লিখলে অটোমেটিক ৬÷(২(২+১)) এই এক্সট্রা ব্র্যাকেট এসে যায় ! দারুন না !!

তাই CASIO-এর যে ক্যালকুলেটরগুলো PEJMDAS/BOJDMAS ফলো করে তারা 1, 2 উভয়ের উত্তর ১ দেখাবে । আর যারা অন্তর্বর্তী PEMDAS ফলো করে তারা যথাক্রমে ১৬ ও ৯ দেখাবে । বাজারে থাকা HP ক্যালকুলেটরগুলো PEMDAS মানে । HP 10s+ আবার PEJMDAS মানে । গুগল PEMDAS মানে আবার WolframAlpha Mathematica মিশ্র রেজাল্ট দেখায় । যেমন :

6/2x = (6/2)*x [আধুনিক PEMDAS/BODMAS]

আবার 6/xy = 6/(xy) [Conventional PEJMDAS]

 

তবে WolframAlpha ব্যতিক্রম নিয়মে PEJMDAS-কে সমর্থন করে ।

x/x/x কে Left-to-Right নিয়মে লিখে (x/x)/x

আবার x^x^x কে Right-to-Left নিয়মে লিখে x^(x^x)

Exponent বা Power-এর ক্ষেত্রে Wolfram-এর ধারনাটা সঠিক । কেননা আমরা যখন log(log(logx)) বা g(h(x)) লিখি, আমরা ডান থেকে বামে কিংবা ভিতর থেকে বাইরে যাই ।

 

এখন আমরা কোনটা মেনে চলবো ?

আগেই বলেছি, বিংশ শতাব্দী পর্যন্ত অসংখ্য গণিতবিদ (বলতে পারেন মেজরিটি অংশ) অবচেতন মনেই Juxtaposition মেনে PEJMDAS/BOJMDAS অনুযায়ী পাটিগণিত ও বীজগণিত করতো (একই সাথে Left-to-Right নিয়মকেও অনেকে সমর্থন করতো) । PEMDAS-এর বিতর্কটা সবচেয়ে বেশি আসে বিংশ শতাব্দীর শেষ থেকে, তাও North American স্কুল শিক্ষকদের প্রভাবে, কোনো প্রসিদ্ধ গনিতবিদ বা ইঞ্জিনিয়ারের রিসার্চের ফলে নয় ! সেখানে তারা Juxtaposition-কে গুরুত্ব না দিয়ে গুণ-ভাগের মতো একই কাতারে ফেলে এবং Left-to-Right নিয়ম ফলো করে । অর্থাৎ আসল প্রশ্নটা হলো Juxtaposition ব্যবহার হবে কি-না তা নিয়ে, গুণ-ভাগের সিক্যুয়েন্স নয় । কারণ তা এক বাক্যে Left-to-Right ।

তাছাড়া আমরা নিজেরাও অজান্তেই বছর বছর PEJMDAS/BOJDMAS কে ফলো করে আসছি । যেমন :

১÷২√৩ কে কিভাবে লিখবো ?

• (১/২)×√৩ = ০.৮৮৬ [ অধুনা PEMDAS নিয়ম ] নাকি,

• ১÷(২×√৩) = ০.২৮৯ [ Conventional PEJMDAS নিয়ম ]

নিঃসন্দেহে ২নং নিয়মটাই ফলো করা হয় বেশি (অথবা সবসময়ই)।

আবার 2X/3Y-1 কে কিভাবে হিসাব করি ?

• (2x/3)(y-1) [ অধুনা PEMDAS ]

• {(2x)/(3y)} - 1 [ Conventional PEJMDAS ] নাকি

• (2x)/(3y-1) [বিধি বহির্ভূত]

এখানেও আমরা সচরাচর ২নং-টাকেই বেশি গ্রহণ করে থাকি !! অর্থাৎ শুধুমাত্র স্কুল শিক্ষকদের পছন্দে উত্তর আমেরিকার PEMDAS বা সমমানের BODMAS, বহু পুরোনো Juxtaposition-কে বাদ দিয়ে যে নতুন নিয়ম চালু করেছে, অনেকেই এর বিরোধিতা করেছে ।

যদিও কিছু কিছু ক্ষেত্রে Juxtaposition ছাড়াই আধুনিক PEMDAS নিয়ম শতভাগ সঠিক উত্তর দেয় (যেমন রাশি-1 ও রাশি-2) তবে সব সময় হয় না (যেমন উপরের ২ টা উদাহরণই)। তাই অধুনা North American PEMDAS পুরোপুরি গ্রান্টেড নয় ! এমনকি আধুনিক গনিত লেখক Robert B Ash, তার Basic Abstract Algebra বইতেও Conventional PEJMDAS-কে সমর্থন করেছেন (গুগল করেও দেখতে পারেন)।

তাই মেশিন ও মানুষ, ২ ভিন্ন ভিন্ন সত্তা যে হিসাব করবে তার ফলাফল অবশ্যই ভিন্ন আসবে । এ ক্ষেত্রে যা মাথায় রাখতে হবে:—

1. ব্র্যাকেট উঠলে গুণ বসবে এবং তার গুরুত্ব গুণ-ভাগের চেয়ে বেশি হবে ও আগে সমাধান করতে হবে Juxtaposition/Implicit Multiplication এর জন্য ('এর' বা 'of' এর জন্য নয়) ।
2. ঐতিহাসিকভাবে PEMDAS নিয়মে আগে গুণ, BEDMAS/BODMAS-এ আগে ভাগ করা হয় । তবে বর্তমানে গুণ-ভাগ পাশাপাশি থাকলে গুরুত্ব এক ও Left-to-Right ।
3. লেখক N.J. Lennes-এর মতে '/ বা slash' ও '÷ বা Obelus' ভিন্ন অর্থ বহন করে এবং ব্যবহারে সাবধান হওয়া উচিত ।
4. Ambiguity ও বিতর্ক দূরীকরণে ব্র্যাকেট ব্যবহার করতে হবে ।

যেমন : ১৮/৩×২

-- এটার মানুষের দেয়া উত্তর ৩, কারণ তারা আদিম PEMDAS ফলো করে ।

-- আবার মেশিনের দেয়া উত্তর ১২, কারণ সেটা উপরের নিয়ম ফলো করে (বাম থেকে ডান) ।

-- আদিম ও আধুনিক দুই BODMAS নিয়মেই ১২ হয় ।

-- আবার আধুনিক PEMDAS নিয়মেও ১২ হয় (ঝামেলাটা বুঝা যাচ্ছে না কারণ Juxtaposition নেই)

আবার ৮÷২(৩+১)

--এটার মানুষের দেয়া উত্তর ৮÷২(৪) = ৮÷(২×৪)=৮÷৮=১, যা শতভাগ সঠিক কারণ তা উপরের সব নিয়ম ফলো করে (Conventional PEJMDAS) ।

--আবার মেশিনের দেয়া উত্তর ৮÷২(৩+১) = (৮÷২)×(৪)=১৬, যা ১ম নিয়মটি অনুসরণ করেনি (অধুনা PEMDAS) । এটিও ভুল নয় ।

--আবার যেসব মেশিন/ক্যালকুলেটর তা ফলো করে (Conventional PEJMDAS), তারা ঠিকই ১ দেখাবে । সেটাও সঠিক । শুধু মেথডটা ভিন্ন । তবে উত্তর '১' টা সবচেয়ে বেশি গ্রহণযোগ্য কারন Implicit Multiplication বহু গণিতবিদ অনুসরণ করেছেন এবং তা বাদ দেয়ায় PEMDAS, BODMAS নিয়মেরও সমালোচনা হয়েছে । এই বিষয়টি আজও Ambiguous বা অস্পষ্ট (অমীমাংসিত) ।

 

তাই কেউ যদি রাশি-1 ও রাশি-2 এর অংক দেয় তাহলে উত্তর দিতে হবে ৫টা :

JUXTAPOSITION RULES ছাড়া :[৮÷২×৪] এবং [৬÷২×৩]

1. আদিম PEMDAS মানলে উত্তর ১ ও ১

2. অধুনা PEMDAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

3. আদিম BODMAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

4. অধুনা BODMAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

 

JUXTAPOSITION RULES সহ :[৮÷(২×৪)] এবং [৬÷(২×৩)]

• আদিম ও আধুনিক BODMAS/PEMDAS সবসময়ই উত্তর ১ ও ১

আমি 5-কে সমর্থন করি । আপনি?

.

অনুসন্ধান ও রচনায় : Ridoan's